１．普通にインスコし直すのが一番
だけれど
意外とこれが厄介なので、さしあたっての対処法を紹介するよ（Cs6で検証）。
イラレに限らず起動時のスプラッシュ画面はpngファイルで出来ていて、これはWin764bitの場合、Program Files→Adobe→Adobe Illustrator CS6 (64 Bit)→Support Files→Contents→Windowsの中に格納されているんだ。
イラレの場合、ai_cs6_splash.pngとai_cs6_splash_tryout.pngがあって後者のTryout画像が起動時に表示されてしまうことが問題。だからこの2枚の画像の名前を入れ替えてあげる。つまりTryout画像（ai_cs6_splash_tryout.png）を普通の画像（ai_cs6_splash.png）に差し替えてあげる。これでとりあえず解決。
サンプル
ちなみにpngファイルは700px×700pxで出来ているので適当な自前の画像を用意して差し替えれば、それが表示されるよ。